今天我想談?wù)劍泻蛿?shù)學(xué)意義上的的美。

要談?wù)撨@個，還有比十八世紀著名的歐拉公式更好的例子嗎？

注意e指的是自然對數(shù)的底數(shù)。i是虛數(shù)單位，也就是-1的平方根。

這個公式經(jīng)常被叫做“最美數(shù)學(xué)公式”，不過其實歐拉并沒有真正的確切的把它寫出來過。一個容易誤解人的數(shù)學(xué)命名約定。相反，它是歐拉在證明指數(shù)增長和圓周運動的等價性時用到的公式的一種特殊情況。這個公式是這樣的

這個公式通常被稱為cis函數(shù)，結(jié)合了余弦(cos)和正弦(sin)。theta是希臘字母。

美國理論物理學(xué)家理查德·費曼稱其為“最引人注目的數(shù)學(xué)公式”。

歐拉社會的創(chuàng)始人——Ed Sandifer 曾在2007年的一篇好玩的文章中詳細討論了歐拉超過四十多年的方法，嘗試去說明這個公式到底在干什么。在這里我將盡量用最少的公式來講清楚這個故事。

這個公式干了什么？

歐拉公式包括了五個基本的數(shù)學(xué)常數(shù)0,1,i,e和π，以及它們之間的等號，加號和指數(shù)，以一種神秘而又有用的方式，組成了一個七字符的公式。它的等價形式也可以寫成：

重寫過的歐拉公式

這個形式甚至更加簡潔并且介紹了負數(shù)。

數(shù)學(xué)的一個共同特征是：發(fā)現(xiàn)總是首先被使用，然后才是被理解。18世紀法國數(shù)學(xué)家達朗貝爾寫過代數(shù)是慷慨的，她經(jīng)常給我們的答案超過了我們所問。

讓我介紹一下構(gòu)造歐拉公式的這些磚塊的2000多年的歷史。你不必去理解確切的數(shù)學(xué)，只要了解一下這些不同元素的不同起源，以及它們是怎么如此緊密地結(jié)合起來的。

等于 （=）

"="符號歸因于1557年威爾士科學(xué)家羅伯特·雷科德。數(shù)學(xué)上關(guān)于相等的意思的討論反映了同時又推動了哲學(xué)上關(guān)于確切描述的概念的討論。

英國著名的邏輯學(xué)家伯特蘭·羅素的例子是金星,稱為晨星和昏星。一個反復(fù)提及的數(shù)學(xué)例子是0.99999999…和1是否相等。他們是，他們也不是。

零（0）

“0”的標記符號比 "= "更早。但是希臘人也好還是別的民族也好，都沒有發(fā)現(xiàn)怎么去演算 0 的法則。一個數(shù)學(xué)上成熟的“0”的概念歸功于大約公元650年的偉大的印度思想家Brahmagupta.

當“0”和另一個印度發(fā)明：進位計數(shù)法結(jié)合起來之后，計算數(shù)字便變得簡單多了。這種能力直到15世紀或者更晚才傳到歐洲。

1

沒有“1”就沒有先進的算法?！?”和“1”一起,我們有了二進制記數(shù)法和現(xiàn)代數(shù)字計算機。美國理論物理學(xué)家約翰·泰勒把這叫做“來自一點“（“來自比特“，英語雙關(guān)，it from bit——譯者）

這進一步導(dǎo)致了現(xiàn)代群論，代數(shù)，機密技術(shù)以及許多許多的其它知識。

i

虛數(shù)的使用大約開始于16到17世紀。法國哲學(xué)家和數(shù)學(xué)家笛卡爾就已經(jīng)早早使用過它了，不過是以輕視的態(tài)度。

我們現(xiàn)在認為理所當然的數(shù)學(xué)概念有時候要花費幾個世紀才能被接受和理解。難怪學(xué)生反抗虛數(shù)。這先是經(jīng)過歐拉后來又經(jīng)過德國數(shù)學(xué)家高斯的努力，虛數(shù)才真正的被開發(fā)起來了?！疤摗边@個詞終于有了一個積極的數(shù)學(xué)內(nèi)涵。

定義 i 作為-1 的平方根有一個非常美妙的結(jié)果。那就是一個n次多項式一定有n個（復(fù)）根了。比如說x^4=(x+1)(x-1)(x-i)(x+i), 它有四個根。這個導(dǎo)致了現(xiàn)在所謂復(fù)分析的發(fā)展。

如果沒有復(fù)數(shù)，大多數(shù)現(xiàn)代數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)物理（比如量子力學(xué)）都不能工作了。

Pi(π)

π是半徑為1的圓的面積和圓的周長。偉大的希臘數(shù)學(xué)家阿基米德(公元前287 - 前212)使用這個結(jié)論得到π近似值為22/7(3.141592…)。

歐拉提出了π的現(xiàn)代定義：即定義泰勒級數(shù)里面的余弦函數(shù)的最小的正系數(shù)為π/2.這有點復(fù)雜,但如果你只是想象這個級數(shù)是一個非常大的多項式，你會懂的。

cis函數(shù)是兩個泰勒級數(shù)

這里 n!= 1 x 2 x···x n 叫做n的階乘。這個十七世紀的另一個數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)。

e

常數(shù)“e”起源于十七世紀，它被定義為自然對數(shù)的底數(shù)。到小數(shù)點后三位是2.718...，有點像π，這是一個無限不循環(huán)小數(shù)。

歐拉這位大師不光命名了“π”和“e”，他還意識到e^x也有一個花哨的泰勒級數(shù)。

展開的泰勒級數(shù)

然后令theta等于1，給出了一個關(guān)于e的有效公式。

現(xiàn)在我們知道了所有我們需要知道的磚塊。我們需要對第二個公式做的是令theta等于π，利用簡單的三角函數(shù)，我們知道sin(π)=0和cos(π)=-1，于是一步一步的約掉這個公式，我們便得到了美麗的第一個公式了。

什么是數(shù)學(xué)美？

正如你看到的，要看到這個公式的美我們必須理解這個公式的元素，至少是大概的理解。

羅素在他的《西方哲學(xué)史》上這樣說:

“恰當?shù)恼f，數(shù)學(xué)不僅涵括真理，亦表現(xiàn)最高等的美——這種美冷靜而簡樸，宛若雕塑，不訴諸我們?nèi)魏稳崛醯谋拘裕瑳]有繪畫中亦或音樂中的華麗絢爛，但是純粹得莊嚴，只有最偉大的藝術(shù)才能展示其嚴格的完美。”

大多數(shù)數(shù)學(xué)家都同意，一個美麗的公式一定是意料不到的，簡潔的和有用的，有一種專業(yè)數(shù)學(xué)家能夠感知到的高超的巧妙。

如果不得不列出來的話，大多數(shù)數(shù)學(xué)家會列出阿基米德，高斯，歐拉作為自古以來最杰出的五位數(shù)學(xué)思想家。另外兩個是艾薩克·牛頓(微積分和力學(xué))和波恩哈德·黎曼(黎曼幾何和黎曼假設(shè))。

同時擁有三位杰出的思想家和基本常數(shù)。難怪歐拉公式被人們崇拜地叫做最美麗的數(shù)學(xué)公式。