繼物理學地圖之后，今天要給大家?guī)淼氖且粡埻ㄍ鶖?shù)學世界的地圖，概括了所有的數(shù)學分支。

故事還得從頭開始。一切都始于計數(shù)。

事實上，計數(shù)不僅僅只是人類的特性，其它的動物（比如鳥、猴子等）也有計數(shù)的能力。人類在木頭、骨頭或石頭上的計數(shù)符號從史前時代就開始被使用了。在石器時代的文化中，他們會使用計數(shù)符號進行賭博、私人服務和交易。

一切起源于計數(shù)。

最近的幾千年里，在不同的國度，數(shù)學都得到了發(fā)展。古埃及人寫下了第一個方程。古希臘人則在許多方面都有貢獻，比如幾何和數(shù)秘術。中國數(shù)學家早就有了負數(shù)的概念?！?”這個數(shù)字則在印度首次被使用。接著在波斯伊斯蘭教的黃金時期，數(shù)學家又跨越了一大步，書寫了第一部代數(shù)學的書籍。在文藝復興時期，數(shù)學與科學則共同欣榮發(fā)展。

當然，以上提到的僅僅是數(shù)學歷史中的冰山一角，我不打算在這里提及更多。我的主要目標是要帶你們進入現(xiàn)代數(shù)學的分支。

現(xiàn)代數(shù)學可以大致被分為兩個領域：純粹數(shù)學（研究數(shù)學本身）和應用數(shù)學（用以解決更實際的問題）。但我們要記住的是，它們之間其實有著緊密的關聯(lián)。如果能的話，這張地圖更應該是一張網絡，連接著每個相關的分支。但我們現(xiàn)在只能盡量把它呈現(xiàn)在二維的平面上。

左邊為純粹數(shù)學，右邊為應用數(shù)學。

事實上，從歷史中我們會發(fā)現(xiàn)，有許多數(shù)學家一開始只是出于好奇以及對美的追求去研究數(shù)學，然后發(fā)展了一系列美麗而又有趣的數(shù)學分支，但對于真實世界卻一點用處都沒有。令人驚喜的是，比如在100年后，當有些科學家正在試圖解決物理學或計算機科學最前沿的問題時發(fā)現(xiàn)，他們所需要的數(shù)學其實早就在純粹數(shù)學里被發(fā)展出來了。這樣的例子不勝枚舉，比如廣義相對論的發(fā)展依賴于黎曼度規(guī)；弦理論則需要卡-丘空間等等。這些抽象的概念最終被應用在其它的科學領域中是非常令人欣喜的一件事。

先拋開純粹數(shù)學是否有一天能被應用在現(xiàn)實中去，其實研究純粹數(shù)學本身也是非常有價值的事。如果你問一位數(shù)學家為什么要研究純粹數(shù)學，我想很多人的答案會簡潔到只有一個字，那就是：美！

現(xiàn)在我們首先進入純粹數(shù)學的領域。

純粹數(shù)學

純粹數(shù)學主要包括四個部分：

純粹數(shù)學包括數(shù)字系統(tǒng)、結構、空間和變化。

【數(shù)字系統(tǒng)】

數(shù)字系統(tǒng)的研究起源于數(shù)，一開始為熟悉的自然數(shù)（1、2、3...）及整數(shù)（…-2、-1、0、1、2...）與被描述在算術內的自然數(shù)及整數(shù)的算術運算（＋－× ÷ ）。當數(shù)系進一步發(fā)展時，整數(shù)被視為有理數(shù)（-7、1/2、2.32...）的子集，而有理數(shù)則包含于實數(shù)（-4π、e、√2...）中。實數(shù)則可以進一步被廣義化為復數(shù)（4+3i、-4i...）。除此外，還有其它一系列的數(shù)（比如四元數(shù)、八元數(shù)和基數(shù)等）。還有一些數(shù)深受數(shù)學家的喜愛，比如π、e和質數(shù)（1，3，11...）。

剛才提到的這些數(shù)字都有一些有意思的性質，例如，盡管實數(shù)和整數(shù)都有無限多，但實數(shù)要比整數(shù)多。所以有一些無限實際要比另一些大。

【結構】

對結構的研究起始于將數(shù)字以變量的形式代入方程（y=mx+c）。如何解這些方程的規(guī)則包含在代數(shù)之中。在這個分支中，還有矢量和矩陣，它們都是多維數(shù)，而它們之間的聯(lián)系于線性代數(shù)中被研究。

在這個分支內，有一個被譽為“最純”的數(shù)學領域，那就是數(shù)論。數(shù)論專注于研究在“數(shù)字系統(tǒng)”中提到的所有數(shù)的特征，比如質數(shù)的性質（質數(shù)產生了很多非專業(yè)人士也能理解而又懸而未解的問題，如哥德巴赫猜想，孿生質數(shù)猜想等）。

另一方面，組合數(shù)學是一門研究可數(shù)或離散對象的數(shù)學分支，比如樹、圖論等，一些著名的問題包括地圖著色問題、船夫過河問題等等。群論則是研究名為群的代數(shù)結構，一個熟悉的例子就是魔方，是一個置換群。序理論是研究捕獲數(shù)學排序的直覺概念的各種二元關系的數(shù)學分支，比如哈斯圖，是用來表示有限偏序集的一種數(shù)學圖標。

【空間】

純粹數(shù)學的另一個部分是研究形狀和它們在空間中的行為。空間的研究源自于幾何——尤其是歐幾里得幾何。三角學則結合了空間及數(shù)，且包含有著名的勾股定理。還有一些比較有趣的領域，比如分形，它是一種具有尺度不變性的數(shù)學模式，意思是說你無論你怎么放大它們看起來都是一樣的。

在其許多分支中，拓撲學可能是20世紀數(shù)學中有著最大進展的領域。拓撲學研究的是空間的不同性質，你可以連續(xù)不斷地將它們變形，但不能將它們撕裂或粘合。例如，無論你對莫比烏斯帶做什么，它永遠只有一個面和一個邊界。在拓撲學里，咖啡杯和甜甜圈是一樣的東西。拓撲學包含了存在已久的龐加萊猜想（2006年由數(shù)學家格里戈里·佩雷爾曼證明）以及頗有爭議的四色定理（1976年由計算機證明）。

測度論是一種給空間或集分配數(shù)值的數(shù)學分支，它將數(shù)和空間聯(lián)系起來。最后，微分幾何是非常重要的一個數(shù)學分支，它研究在彎曲表面上的形狀的性質，比如三角形在彎曲的表面中內角和跟在歐式空間中的不一樣。

【變化】

了解及描述變化在自然科學里是一個普遍的議題，而微積分更加使研究變化的有力工具。函數(shù)誕生于此，作為描述一變化的量的核心概念。微積分是研究極限、微分學（函數(shù)的梯度的行為）、積分學（函數(shù)下的面積）和無窮級數(shù)的一個分支。而向量分析關注的則是向量場的微分和積分。

除此外，還有一系列其它的研究方向。動力系統(tǒng)描述的是系統(tǒng)如何隨著時間流逝從一個狀態(tài)演化到另一個狀態(tài)，比如流體流動或任何有反饋環(huán)路的東西（如生態(tài)系統(tǒng)）?；煦缋碚搫t是對系統(tǒng)的既不可預測而又是決定的行為作明確的描述，它對于初始條件非常敏感，比如著名的蝴蝶效應。最后是復分析，對于實數(shù)及實變函數(shù)的嚴格研究為實分析，而復分析則為復數(shù)的等價領域。數(shù)學中最大的未解問題之一——黎曼猜想便是以復分析來描述的。

以上這些便是純粹數(shù)學的各個分支。接下來我們進入應用數(shù)學的領域。應用數(shù)學的主旨在于將抽象的數(shù)學工具運用在解答科學、工程、商業(yè)及其他領域上的現(xiàn)實問題。

應用數(shù)學

數(shù)學被廣泛地應用在各個科學領域。

我們從物理學開始。基本上在純粹數(shù)學提到的所有分支都多多少少的被應用于物理學上。數(shù)學和理論物理跟純粹數(shù)學的關系是密不可分的。許多數(shù)學理論是在物理問題的基礎上發(fā)展起來的；也有很多數(shù)學方法和工具通常只在物理學中找到實際應用。例如，微分方程被應用在經典力學和量子力學；場論被應用在電磁場、引力場和規(guī)范場；群論和表示論別應用在粒子物理學中。

除了物理外，數(shù)學也被應用在其它的自然科學上，特別是在數(shù)學化學和生物數(shù)學上。在數(shù)學化學中，數(shù)學模型通常被用以模擬分子；拓撲化學也是一個熱門的研究領域（2016年的諾貝爾化學獎就跟拓撲有關）。數(shù)學也大量應用在生物學中，如由于基因學的發(fā)展，生物學家采集到的大量數(shù)據(jù)必須通過解析方法加以處理；演化生物學和生態(tài)學都大量使用數(shù)學理論等等。

數(shù)學也被大量應用在工程學上，自古埃及和巴比倫時期，數(shù)學就被大量應用在建筑上。非常復雜的電路系統(tǒng)，比如在飛機或電網中，就利用了動力系統(tǒng)的方法，叫控制理論。

（這里推薦一本Mary Boas寫的教材《Mathematical Methods in the Physical Sciences》，對于那些本科選擇物理、化學和工程專業(yè)的學生，這本書可以快速的幫你們掌握所需要的數(shù)學知識。）

當一些數(shù)學太過于復雜我們無法有效地解決時，我們就會用到數(shù)值分析，它也包含了對計算中舍入誤差或其它來源的誤差之研究。例如，如果你把一個圓圈放進一個正方形中，并向它扔許多的飛鏢，接著比較飛鏢在圓圈和正方形的數(shù)量，你就可以得到 π 的近似值。但在現(xiàn)實中，數(shù)值分析通常會使用大型計算機來實現(xiàn)。

博弈論專注于思考游戲中的個體的預測行為和實際行為，并研究它們的優(yōu)化策略。主要研究公式化了的激勵結構（游戲）間的相互作用。其中一個代表性的應用例子是囚徒困境。博弈論在經濟學、心理學、生物學、國際關系、政治學等其它學科都有廣泛的應用。

概率論是集中研究概率及隨機現(xiàn)象的數(shù)學分支，最簡單的隨機事件為扔硬幣、抽撲克或擲骰子。應用數(shù)學中的一個重要領域為統(tǒng)計學，它利用概率論為其工具并允許對含有機會成分的現(xiàn)象進行描述、分析與預測。大部分的實驗、調查及觀察研究都依賴于統(tǒng)計分析。因此被廣泛地應用在各門學科，從自然科學、社會科學到人文學科。特別是在金融行業(yè)，通過統(tǒng)計分析以獲取最大的利益。

跟最大化利益相關的是最優(yōu)化，你試圖計算的是在一系列不同選擇或限制下的最佳選擇，也就是找到一個函數(shù)的最高或最低點。最優(yōu)化問題是人類的第二天性，我們一直在都在進行最優(yōu)化選擇，比如試圖最優(yōu)化我們的快樂程度，購買的時候想要物有所值等等。

另一個領域跟純數(shù)學有非常深的聯(lián)系，那就是計算機科學。計算機科學的規(guī)則事實上是從純數(shù)學中推導出來的。機器學習是實現(xiàn)人工智能的一個途徑，即以機器學習為手段解決人工智能中的問題。機器學習是一門多領域的交叉學科，利用了數(shù)學的許多領域，比如線性代數(shù)、最優(yōu)化、動力系統(tǒng)和概率論等等。

最后，密碼術也是非常重要且實用的一個數(shù)學分支，應用到了純粹數(shù)學研究，比如組合數(shù)學和數(shù)論等。

現(xiàn)在我們已經概括了純粹數(shù)學和應用數(shù)學的主要部分。但是，還沒有結束，我們不能夠忽略數(shù)學的基礎。

基礎

數(shù)學的基礎試圖理解數(shù)學本身的性質，并且追問所有數(shù)學規(guī)則的基礎是什么。是否存在著一套稱為公理的完整的基本規(guī)則？我們要如何證明它是否自洽？數(shù)理邏輯、集合論和范疇論就試圖回答這個問題。在數(shù)理邏輯中有一個非常著名的成果叫做哥德爾不完備定理，對大多數(shù)人來說，數(shù)學并沒有一套完整和自洽的公理，意味著它們都是由我們人類創(chuàng)造的。這聽起來很奇怪，因為數(shù)學如此完美的解釋了宇宙中的許多事物。為什么我們會認為由人類創(chuàng)造的東西可以做到如此地步？這是一個非常深奧的謎題。

我們還有計算理論，它專注于研究不同的計算模型，基于這些模型如何能夠有效地解決問題。它包含了復雜性理論，其中P/NP問題是該領域中至今沒有解決的問題。

現(xiàn)在，我們有了一張通往數(shù)學世界的完整地圖：

數(shù)學地圖。（圖片來源：Dominic Walliman）

數(shù)學是一個非常抽象和美妙的世界，如果要用一句話形容它的重要性，那么我會選擇伽利略曾經說過的：“如果一個人不懂得宇宙的語言，即數(shù)學的語言，他就不能夠閱讀宇宙這本偉大的書?！?/p>

你們認為學習或研究數(shù)學最大的樂趣是什么？