撰文：施郁（復旦大學物理學系教授）

摘要 ：本文對物理學中的規(guī)范理論作了通俗介紹，然后討論物理學中“規(guī)范”一詞的起源。規(guī)范本來是尺子或者測度標準的意思。經(jīng)典電磁學中使用“規(guī)范”一詞是在外爾1928-1929年提出電磁場中量子帶電粒子的規(guī)范原理之后。如果不是因為外爾曾經(jīng)于1918-1919年作過失敗的嘗試，試圖從時空中平行移動導致的尺度變化來導出電磁矢量勢，那么后來人們就不會將“規(guī)范”一詞用于電磁矢量勢。本文也梳理了薛定諤、?？撕蛡惗氐呢暙I。

關鍵詞 ：規(guī)范，電磁學，量子力學

1. 經(jīng)典電磁學中的“規(guī)范”

從目前物理學的學習過程來說，“規(guī)范”一詞首先在經(jīng)典電磁學或者經(jīng)典電動力學中出現(xiàn)。

電場強度E和磁感應強度B都可以用另外兩個物理量，即矢量勢A和標量勢φ表達:

E=-(1/c)?A/?t-gradφ , （1）

B=curlA , （2）

這里c是光速，?A/?t是A對時間的導數(shù)，即隨時間的變化率，grad和curl分別代表梯度和旋度。

現(xiàn)在介紹一下上一段出現(xiàn)的數(shù)學符號。黑體符號代表矢量，如E、B、A，是指一個既有方向，又有大小的物理量。非黑體符號代表標量，如φ，只有大小，沒有方向。這些物理量都是空間和時間的函數(shù)。標量函數(shù)的梯度（grad）是一個矢量，它在任意方向的投影就是在這個方向的變化率。矢量函數(shù)的旋度（curl）也是一個矢量，它在任意方向的投影是它沿著圍繞這個方向的一個無窮小閉合路徑的積分，再除以所包圍的小面積。

矢量A有3個空間分量，可以和φ統(tǒng)一看成一個4維矢量勢，有4個時空分量，寫作

（A0,A1,A2,A3 ）

其中 A0=φ是時間分量。這類似于時間和空間坐標可以寫作4維時空坐標

（ x0, x1, x2, x3 ）

其中 x0=ct。

在經(jīng)典電磁學里，A不是可直接觀測量，φ只有相對差可以測量，它們都有選擇自由度?？梢钥闯?，如果由任意標量函數(shù)χ定義

A ’=A+gradχ, （3）

φ’=φ-(1/c)?χ/?t, （4）

那么用A’和φ’取代（1）和（2）式中的A和φ，直接可觀測量電場強度E和磁感應強度B保持不變。

（3）和（4）被稱作規(guī)范變換（gauge transformation）。在此規(guī)范變換下，E和B的不變性叫作規(guī)范不變（gauge invariance），也就是說在規(guī)范變換下的不變性。這兩個名詞是物理學的標準名詞，被普遍使用。“規(guī)范變換”一詞甚至被借用到廣義相對論中。

1851年，湯姆森（William Thomson，即開爾文勛爵）首先通過（2）式定義了矢量勢A。1856年，麥克斯韋（James Clerk Maxwell）提出法拉第（Michael Faraday）發(fā)現(xiàn)的感生電場由（1）式的第1項給出，而且確認A就是法拉第所說的電緊張密度（electrotonic density）[1]。1880年代，亥維賽（Oliver Heaviside）和赫茲（Heinrich Hertz）發(fā)現(xiàn)麥克斯韋方程可以不涉及A，完全由電場強度和磁場強度表達。楊振寧對這些歷史有精彩的解說[1]。

2. 量子力學中的規(guī)范

簡單地說，量子力學是描述微觀粒子的一套運算規(guī)則。在量子力學中，中心概念是量子態(tài)。描述粒子在空間中的運動的量子態(tài)通常用復數(shù)波函數(shù) ψ 表示，它是空間和時間的函數(shù)，它的模的平方代表幾率密度。而可觀測物理量，比如動量、角動量，都表示成作用在波函數(shù)上的算符。比如動量算符 p 等于(h/2πi)grad，能量算符 H 等于(ih/2π) ?/?t 其中 h 是普朗克（Max Planck）常數(shù)。與A和φ類似，p和H/c也可以統(tǒng)一看成一個4維動量算符，其中p是空間分量，H/c 是時間分量。

對于與電磁場耦合的電荷為q的粒子，動量算符 p 和能量算符 H 作如下改變

p →p-qA/c， （5）

H →H+qφ。 （6）

甚至可以用gauge（規(guī)范化）作為動詞指稱這兩個改變。

在量子力學中，非相對論性粒子的波函數(shù)服從薛定諤（Erwin Schr?dinger）方程，相對論性粒子服從克萊因-戈登（Klein-Gordon）方程或者狄拉克（Paul Dirac）方程。在作變換（3）和（4）的時候，波函數(shù)也要相應地由原來的ψ做一個相位變換

ψ’=exp(2πiqχ/hc)ψ , （7）

從而波函數(shù)服從的運動方程保持不變，這就是規(guī)范不變性（gauge invariance），即規(guī)范變換下的不變性。χ 是時空坐標的函數(shù)，因此規(guī)范變換是定域的。如果 χ 是常數(shù)，那么相位變換（7）下的不變性是整體對稱。量子力學與相對論相結合后，或者在多粒子系統(tǒng)的量子場論中，上面的波函數(shù) ψ 要理解為量子場。

從（5）和（6）式可以得到，電磁場給其中的帶電粒子的波函數(shù)帶來一個由電磁勢沿路徑的積分所給出的相位因子，即

ψ→exp(2πiqS/hc)ψ, （8）

其中

S=∫A1dx1+∫A2dx2+∫A3dx3-c∫φdt

就是電磁勢沿路徑的積分。1959年，阿哈羅諾夫（Yakir Aharonov）和玻姆（David Bohm）發(fā)現(xiàn)這個相位因子有觀測效應，即使在場強 E 和 B 消失的區(qū)域[2] 。這確立了 A 和 φ 的物理實在性。

量子理論框架下的規(guī)范原理是外爾（Hermann Weyl）在1928-1929年確立的[3,4,5]。規(guī)范原理使得作為電磁場源的電荷的守恒成為規(guī)范不變性的后果，而且時空中每個點上都可以有定域規(guī)范變換。如果量子粒子不與電磁場耦合，那么就沒有規(guī)范不變性，也就是說，與電磁場的耦合保證了規(guī)范不變性。為了有規(guī)范不變性，電磁場必須存在。因此人們說，電磁場是規(guī)范場。

規(guī)范場本身的量子化導致它對應的規(guī)范粒子，后者是前者的量子。電磁場的量子是光子，沒有質量。

3. 楊-米爾斯理論

1950年代，各種奇異粒子的發(fā)現(xiàn)層出不窮，如何確定它們的相互作用成為一個重要問題。在此物理驅動下，1954年，楊振寧和米爾斯（Robert Mills）將外爾關于電磁場的規(guī)范理論推廣為非阿貝爾（Non-Abelian）規(guī)范理論，也叫楊-米爾斯理論[6,7]。楊振寧和米爾斯強調，作為時空坐標的函數(shù)，規(guī)范變換是定域的。

在楊-米爾斯理論的最初形式中，波函數(shù)ψ被推廣為有兩個分量的波函數(shù)?；玖Ｗ拥牧孔討B(tài)是兩種基本內部狀態(tài)的疊加狀態(tài)，這兩個分量波函數(shù)就是疊加系數(shù)。數(shù)學上可以將這兩個分量波函數(shù)一起寫成一個2行1列的矩陣。相應的規(guī)范變換（準確來說，應該叫相位變化）被推廣為一個2行2列的矩陣變換，也就是說這個2行2列的矩陣乘以原來的二分量波函數(shù)，得到變換以后的新波函數(shù)。

做一個類比。一個平面上從坐標原點出發(fā)的矢量可以用兩個坐標表示，這兩個坐標可以寫成一個2行1列的坐標矩陣。矢量繞著原點的轉動就可以用一個2行2列的變換矩陣來表示。一個2行2列的變換矩陣乘以一個2行1列的坐標矩陣，就給出一個2行1列的新坐標矩陣，它的第一行等于變換矩陣第一行兩個數(shù)與坐標矩陣的兩個數(shù)分別相乘再相加，它的第二行等于變換矩陣第二行兩個數(shù)與坐標矩陣的兩個數(shù)分別相乘再相加。

連續(xù)作兩次變換就是兩個變換矩陣相乘。一般來說，矩陣相乘與順序有關。數(shù)學上，與順序無關的情況叫作阿貝爾（Abelian），與順序有關的情況叫作非阿貝爾。所以楊-米爾斯理論又叫非阿貝爾規(guī)范理論。

在楊-米爾斯理論中，對于2分量波函數(shù)，引進與某個規(guī)范場的耦合，從而將規(guī)范場從電磁場推廣到非阿貝爾規(guī)范場，保證定域規(guī)范不變性以及某種荷的守恒。

粒子與規(guī)范場的耦合與（5）和（6）類似。但是，因為粒子波函數(shù)是一個2行1列的矩陣，規(guī)范勢的每個時空分量是一個2行2列的矩陣。楊振寧和米爾斯還給出了由規(guī)范勢決定規(guī)范場場強的公式，以及粒子波函數(shù)與規(guī)范場的運動方程。

在電磁規(guī)范理論中，運動方程和電磁場場強都是規(guī)范不變的。而在楊-米爾斯理論中，規(guī)范場場強的每個時空分量都是一個2行2列的矩陣，它們在規(guī)范變換下是有變化的，不是規(guī)范不變的，不過，變換與波函數(shù)的變換相對應，有規(guī)范協(xié)變性（gauge covariance）。但是運動方程是規(guī)范不變的。非阿貝爾規(guī)范勢的每個時空分量由內部狀態(tài)空間中若干獨立分量組合而成。獨立分量的個數(shù)由規(guī)范對稱性的數(shù)學性質決定。這導致規(guī)范粒子之間也有相互作用，這是與電磁場的一大區(qū)別。

1954年的時候，具體來說，楊振寧和米爾斯把定域規(guī)范場的思想用在強相互作用關于質子與中子的對稱性，即同位旋守恒，就是說把質子和中子當作同種粒子的兩個內部態(tài)。當時對于這種情況下規(guī)范粒子質量問題沒有很好的結論，而且后來人們了解到同位旋守恒只是近似的。

但是楊-米爾斯規(guī)范理論為確定基本粒子的相互作用提供了一個基本原理 [8,9,10]。本來，基本粒子之間的相互作用形式無法確定，楊-米爾斯規(guī)范理論規(guī)定了相互作用必須是什么樣的。

后來楊-米爾斯規(guī)范理論成為描述弱電相互作用和強相互作用的基本理論框架，分別借助自發(fā)對稱破缺和漸進自由，導致粒子物理的標準模型。

溫伯格（Steven Weinberg）、格拉肖（Sheldon Glashow）和薩拉姆（Abdus Salam）等人各自在1960年代的工作最終確立了弱電理論。弱電理論的最后形式建立在楊-米爾斯規(guī)范理論和自發(fā)對稱破缺機制的基礎上。其中有兩種規(guī)范場，一個是2行2列矩陣，在內部空間中有3個獨立分量 W 1、 W 2、 W 3，另一個規(guī)范場像電磁場那樣在內部空間只有1個分量 B。 W 1和 W 2的線性組合給出 W +和 W -， W 3和 B的線性組合給出 Z 0和電磁場。 W +、 W -和 Z 0的規(guī)范粒子質量通過自發(fā)對稱破缺獲得，即所謂的安德森-布勞特-恩格萊特-希格斯（Anderson-Brout-Englert-Higgs）機制。電磁場的規(guī)范粒子光子無質量。1983年， W +、 W -和 Z 0在CERN被魯比亞（Carlo Rubbia）等人觀測到。

描述夸克之間強相互作用的楊-米爾斯規(guī)范理論被創(chuàng)始人之一蓋爾曼（Murry Gell-Mann）稱作量子色動力學，其中的規(guī)范場是膠子場，與夸克的色自由度耦合。色與弱電理論無關。夸克還有個自由度叫作味，與弱電理論相關，而與色動力學無關。每種味的夸克都有3種色，因此色波函數(shù)是3行1列的矩陣，膠子場是3行3列的矩陣，在色空間中有8個獨立分量（可以說是8種膠子）。帶色的規(guī)范粒子膠子確實如楊-米爾斯理論原本所述，沒有質量，但是通常與夸克一起被禁閉在強子中而不能被孤立出來。

4. 為什么要用“規(guī)范”這個詞

規(guī)范變換（7）實際上是個相位變換，規(guī)范場是相位場。那么為什么要用“規(guī)范”這個詞呢？是因為原先在經(jīng)典電磁學里，（3）和（4）就被稱作規(guī)范變換嗎？

與直覺的推測相反，答案是否定的。

事實上，這是因為外爾1928-1929年的理論是他1918-1919年理論的修正，而后者所討論的是名副其實的規(guī)范不變性。

1918-1919年，受愛因斯坦廣義相對論的鼓舞，外爾試圖用幾何的方法導出電磁場，以便與引力統(tǒng)一。考慮在時空中的平行移動，廣義相對論說時空的彎曲導致矢量方向有變化，而外爾猜想電磁勢導致沿路徑的積分給出一個時空變化因子。但是與后來1928-1929年理論不同，這個因子的指數(shù)上沒有虛數(shù)單位 i，因此不是相位因子，而是標度因子，確實是所謂的“規(guī)范”因子?！耙?guī)范”本是尺子或者測度標準的意思。外爾1918-1919年的理論遭到了愛因斯坦的反對。

外爾1918-1919年的理論建立在3篇論文的基礎上[11,12,13]。楊振寧注意到[14]，外爾在前兩篇論文中，用的名詞是masstab invarianz，翻成英文是measure invariance（測定不變性），在第三篇論文中，他用的名詞是eich invarianz，而eich invarianz在1921年被翻譯為英文calibration invariance。杰克孫（John David Jackson）和奧肯（Lev B. Okun）注意到[15]，英文gauge invariance 后來首先出現(xiàn)在外爾本人1929年的英文文章中[4]。Eich invarianz，calibration invariance或者gauge invariance就是中文的“規(guī)范不變性”。

1922年，薛定諤猜測可以在外爾的規(guī)范因子的指數(shù)里加上虛數(shù)單位i[16]。

1922年，卡魯扎（Th. Kaluza）提出5維時空理論，第5維與4維時空之間的度規(guī)系數(shù)由電磁勢給出。

1926年，薛定諤的4篇系列文章創(chuàng)立了波動力學（與矩陣力學同為當時量子力學的兩種形式），這4篇文章分別于1月27日、2月23日、5月10日、6月23日被雜志社收到 [17,18,19]。薛定諤的這4篇論文中都沒有提到他1922年修改外爾理論的工作。但是在第4篇論文中，薛定諤指出在電磁場中，帶電粒子的動量和能量算符必須如我們上面的（5）和（6）式[20]。

也是1926年，在薛定諤的波動力學工作帶領下，克萊因（Oskar Klein）和?？耍╒ladimir Fock）分別獨立討論了卡魯扎理論框架下的波動力學。?？说恼撐?月24日被雜志社收到得到，文中在得到波函數(shù)運動方程后，又指出在變換（3）、（4）、（7）下的不變性，也就是我們現(xiàn)在所說的規(guī)范不變性[21]。

當年12月10日左右，倫敦（Fritz London）寫了一封幽默的信給薛定諤，提到后者1922年修改外爾規(guī)范因子的工作，并敦促他闡明與波動力學的聯(lián)系[22,23]。

1969年拉曼（V. V. Raman）和福曼（P. Forman）挖掘出這封倫敦致薛定諤的信后，人們發(fā)現(xiàn)，薛定諤1922年的工作對他創(chuàng)立波動力學確實起了作用，他1925年11月致愛因斯坦的一封信就提到德布羅意理論與外爾理論的聯(lián)系[23,24]。

倫敦在1926年12月給薛定諤寫了信后，自己寫了兩篇文章，將波動力學與外爾1918-1919年的規(guī)范理論聯(lián)系起來，提出電磁場帶來波函數(shù)的相位因子，即我們上面的（8）式[19,20]。

終于，外爾在他1928年的書《量子力學中的群論》[3]和1929年的兩篇文章中[4,5]，修改了他1918-1919年的理論，將標度因子改為相位因子，但是卻沿用了原來的名詞“eich（規(guī)范）”。1929年兩篇文章在他訪問美國普林斯頓時完成。第一篇是英文的，其中出現(xiàn)了英文名詞principle of gauge invariance。第二篇是第一篇的擴充，是德文的，其中還包含其它量子場論基本問題，比如二分量旋量理論。

外爾提出規(guī)范不變原理，將電磁場與物質（而非原先所說的電磁場與引力）聯(lián)系在一起，為了規(guī)范不變原理的成立，電磁場作為物質波的必要伴侶而被推導出來，電荷守恒是規(guī)范不變性的后果。

泡利（Wolfgang Pauli）在他關于場論的著名綜述文章中，介紹了外爾的規(guī)范理論[27,28]。學生時代的楊振寧正是通過泡利的綜述對規(guī)范原理留下了深刻印象[8]。

5. 經(jīng)典電磁學中“規(guī)范”一詞的來源

1977年，楊振寧考證[14]，經(jīng)典電磁學中的 E 和 B 在變換（3）和（4）下保持不變的性質原先似乎并沒有一個專有名詞，比如著名的Fopple-Abraham-Becker-Sauter電磁學教材有很多版，而直到1964年英文版，“gauge（規(guī)范）”一詞才出現(xiàn)在這部經(jīng)典電磁學教科書中。

我們核查了很多早期的經(jīng)典電磁學的書籍，其中有變換（3）和（4），但是確實沒有使用專有名詞。

在楊振寧的1977年文章之后，派斯（Abraham Pais）1986年明確斷言[29]，“規(guī)范”一詞就是從外爾1919年的文章開始使用的。但是派斯沒有給出這個斷言的理由。我們猜測，他很可能就是從楊振寧文章中得到的信息。

我們認為，eich、gauge或者規(guī)范本來是尺子或者測度標準的意思，如果不是因為外爾提出平行移動時的尺度變換問題，沒有道理用它來指電磁場的變換性質，所以，“規(guī)范”（以德文的形式）應該是從外爾1918-1919年的論文才開始用這個名詞來表示電磁場的性質。而該理論當時被愛因斯坦反對，沒有被人們接受。所以可以理解，“規(guī)范”當時也沒有被他人用于經(jīng)典電磁學。而外爾1928-1929年用量子力學修正的規(guī)范理論因為其正確性，被人們接受了，結果“規(guī)范”一詞也走進了經(jīng)典電磁學。

致謝

感謝楊振寧先生告知“規(guī)范”一詞起源問題，以及相關的討論。

主編后記

在牛頓生活的時代，人們認為所有物質都是由粒子組成的。而粒子形態(tài)物質的運動規(guī)律，是由微積分來描寫的。后來，麥克斯韋和愛因斯坦發(fā)現(xiàn)了新的形態(tài)的物質——場形態(tài)的物質，也就是電磁波（光）和引力波。場形態(tài)的物質，是粒子形態(tài)的物質之間相互作用的起源。它遵循和粒子形態(tài)物質完全不同的運動規(guī)律。本文介紹了描寫場形態(tài)的物質運動規(guī)律的規(guī)范理論。這是近代物理的一個關鍵組成部分。

最早發(fā)現(xiàn)的場形態(tài)物質（電磁波），是由偏微分方程（麥克斯韋方程）來描寫的。后來發(fā)現(xiàn)的第二種場形態(tài)物質（引力波）一開始也是由偏微分方程來描寫的。不過愛因斯坦發(fā)現(xiàn)，描寫引力的偏微分方程，實際上是描寫空間的一種幾何形變。這一空間的幾何形變，可以用空間方向的相對性來描寫。這就是為什么愛因斯坦的引力理論又叫廣義相對論。既然第二種場形態(tài)物質（引力波），可以用空間方向的相對論（也就是彎曲時空）來描寫，那么第一種場形態(tài)物質（電磁波），是不是也可以由某種相對論來描寫？

我們知道，為了進行測量，我們必須首先選定一個單位。比如衡量財富的多少，在中國，可以用基本貨幣單位“人民幣”。在物理領域，外爾首先提出，度量單位也可以是相對的，就像不同國家有不同的衡量財富的單位，如美國就用美元做單位。而電磁波，就可以用度量單位的相對論來描寫。

換句話說，電磁波對應于空間各個點的度量單位的一個形變。在上面度量財富的例子中，這一形變，就是我們所講的各種貨幣之間的匯率。重新選取貨幣的單位，會改變貨幣之間的匯率。這對應于一個規(guī)范變換。如果我們無法通過重新選取各個國家的貨幣單位，來使所有的匯率都變成1:1，那么我們就說，度量單位體系有一個實質性的形變。這對應于一個非零的規(guī)范場，也就是一個非零的電磁波。

可是，這一電磁波的度量相對論，后來被發(fā)現(xiàn)是錯誤的。不過通過一個小小的修改，外爾發(fā)現(xiàn)，電磁波是量子力學中波函數(shù)相位的相對論。要知道，外爾首先提出規(guī)范理論的時候，量子力學還沒有發(fā)展成形。外爾不得不等到量子力學發(fā)展成熟之后，才提出對他的規(guī)范理論的修正。

這樣一來，所有的場形態(tài)物質，都可以統(tǒng)一由一個幾何的形變理論來描寫。這是對電磁和引力的一個深度統(tǒng)一。這一統(tǒng)一，導致了用幾何眼光看世界的物理學潮流。這是過去100年物理理論的一塊基石，也是物理理論的主流。物理學家，被這種幾何之美深深吸引。

但這里我要提一下，這種用幾何眼光看世界的觀念，有可能會被最近的一些物理研究所顛覆。規(guī)范場和它所描寫的場形態(tài)物質的本質，也許不是幾何形變而是量子糾纏。雖然關于這個世界的幾何理論十分美，但它可能沒有反應出世界的本質。我們世界的本質，很可能是量子信息和量子糾纏。它是代數(shù)的而不是幾何的。這就是用量子信息來統(tǒng)一物質和空間的近代觀點。

——文小剛

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